複素数平面の問題：|α| = |β| = |α+β| = 2 のときのα² + αβ + β²の計算方法

高校数学

2025.05.24

複素数平面における問題で、|α| = |β| = |α+β| = 2 のときに、α² + αβ + β² の値を求める方法について解説します。この問題では、複素数の絶対値や和に関する情報を利用して式を解いていきます。具体的な解法をステップバイステップで見ていきましょう。

問題の設定

まず、与えられている情報を整理しましょう。

ここで、αとβは複素数であり、それぞれの絶対値が2であることがわかります。また、α + βの絶対値も2であるという条件があります。

複素数の絶対値は、複素数の実部と虚部の平方和の平方根として定義されます。すなわち、|α| = √(Re(α)² + Im(α)²) です。同様に、|β|も同様に定義されます。

また、|α + β| = 2 という条件は、αとβが複素平面でどのように配置されているかを示します。この情報を使って、αとβの関係を調べることができます。

問題で求めるのは、α² + αβ + β² の値です。ここで、式の変形を考えてみましょう。まず、次の恒等式を利用します。

(α + β)² = α² + 2αβ + β²

これを用いると、α² + αβ + β² を次のように書き換えることができます。

α² + αβ + β² = (α + β)² - αβ

したがって、α² + αβ + β² の計算を行うには、(α + β)² と αβ を求めればよいことがわかります。

(α + β)² は与えられた情報から簡単に計算できます。|α + β| = 2 であるため、(α + β)² = 2² = 4 です。

次に、αβ を求める必要があります。複素数の絶対値と和から、αとβの具体的な値を求めることができます。実際の計算を行うと、αβ = 2 であることがわかります。

これらの値を使って、α² + αβ + β² の値を求めます。

α² + αβ + β² = (α + β)² - αβ = 4 - 2 = 2

したがって、α² + αβ + β² の値は 2 です。

この問題では、複素数の絶対値、和、積に関する情報を使って、α² + αβ + β² の値を求めました。問題を解く際に、複素数の性質を理解し、式を適切に変形することが重要であることがわかります。今後の複素数の問題にも、このアプローチを応用できます。