数学の問題で、関数y=(√(1+x))/(√(1-x))とy=√((1+x)/(1-x))の定義域と値域が等しいかどうかを問われることがあります。この質問を解決するためには、まずそれぞれの関数の定義域と値域を求め、比較してみる必要があります。
関数の定義域とは
定義域とは、関数が定義されるxの範囲を指します。関数の定義域は、関数内で計算できる値を与えるxの範囲として決まります。例えば、平方根の中身が負の数になることはできません。このため、関数y=(√(1+x))/(√(1-x))とy=√((1+x)/(1-x))における定義域を確認していきます。
関数y=(√(1+x))/(√(1-x))の定義域
まず、関数y=(√(1+x))/(√(1-x))を見てみましょう。この関数で問題になるのは、平方根の中身が0以上でなければならないという点です。したがって、次の2つの条件が必要です。
- 1 + x ≥ 0 → x ≥ -1
- 1 – x > 0 → x < 1
これらの条件から、関数y=(√(1+x))/(√(1-x))の定義域は、-1 ≤ x < 1 となります。
関数y=√((1+x)/(1-x))の定義域
次に、関数y=√((1+x)/(1-x))を考えます。この関数も平方根の中身が0以上でなければならないので、次の条件を満たす必要があります。
- 1 + x ≥ 0 → x ≥ -1
- 1 – x > 0 → x < 1
これも同様に、関数y=√((1+x)/(1-x))の定義域は、-1 ≤ x < 1 となります。
定義域は等しいか
したがって、関数y=(√(1+x))/(√(1-x))とy=√((1+x)/(1-x))の定義域は、どちらも-1 ≤ x < 1 であり、等しいことが分かります。
関数の値域とは
値域は、関数が取りうるyの値の範囲です。関数の値域を求めるためには、xの範囲に対応するyの値を計算します。
関数y=(√(1+x))/(√(1-x))の値域
関数y=(√(1+x))/(√(1-x))の場合、xが-1に近づくとyは-∞に近づき、xが1に近づくとyは+∞に近づきます。したがって、この関数の値域は、y > 0 となります。
関数y=√((1+x)/(1-x))の値域
関数y=√((1+x)/(1-x))の場合、xが-1に近づくとyは-∞に近づき、xが1に近づくとyは+∞に近づきます。しかし、この関数の値域は、y > 0 となります。なぜなら、平方根の中身が常に正であるため、yの値は必ず正の値を取ります。
値域は等しいか
したがって、両方の関数の値域はy > 0 であり、等しいことが分かります。
まとめ
関数y=(√(1+x))/(√(1-x))とy=√((1+x)/(1-x))は、どちらも定義域が-1 ≤ x < 1であり、値域がy > 0で等しいことが分かります。このように、数式の扱い方を丁寧に確認することで、関数の性質を理解することができます。
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