三桁の正の整数が11の倍数である理由の証明

この問題では、三桁の正の整数で「百の位の数と一の位の数の和が十の位になっている数」が11の倍数であることを文字式を使って説明することが求められています。この記事では、問題の解法を順を追って説明します。

1. 三桁の数を文字式で表す

三桁の正の整数は、次のように表すことができます。

100a + 10b + c

ここで、aは百の位の数、bは十の位の数、cは一の位の数です。この数が「百の位の数と一の位の数の和が十の位になっている」という条件を満たすためには、次の式が成り立つ必要があります。

a + c = b

これにより、三桁の数は次のように書き換えることができます。

100a + 10b + c = 100a + 10(a + c) + c

数が11の倍数であるための条件は、「その数の各桁の数字を交互に足し合わせて、差が11の倍数であること」です。具体的には、次の式が成り立つとき、数は11の倍数です。

(a – b + c) ≡ 0 (mod 11)

つまり、a – b + cが11で割り切れる必要があります。

先ほどの式a + c = bを使って、次のように変形します。

a – b + c = a – (a + c) + c

a – b + c = a – a – c + c = 0

したがって、a – b + c = 0となり、これは明らかに11の倍数です。

以上のように、三桁の正の整数で百の位の数と一の位の数の和が十の位になっている数は、必ず11の倍数になります。この証明は、文字式を使って簡単に示すことができました。このような数学的な問題を解く際には、数式に変換して式を整理することが重要です。