y = −cos²θ − √3sinθ の最大値、最小値とその時のθの値を求める方法

数学の問題「y = −cos²θ − √3sinθ（−π/2 ≦θ ≦π/2）」における最大値、最小値を求め、その時のθの値を解説します。これらを解くために必要なステップを順を追って説明します。

問題の整理

与えられた式は、y = −cos²θ − √3sinθ です。この式を最大化または最小化するために、θに関する微分を行い、θの値を求めます。

まず、y = −cos²θ − √3sinθ を微分します。微分を行うために、cos²θの項を展開して、その後にθに関する導関数を求めます。

y’ = −2cosθsinθ − √3cosθ

次に、この導関数を0に等しいと置き、解を求めます。

y’ = 0 の式を解くために、cosθを共通因子として取り出します。

−cosθ(2sinθ + √3) = 0

この式から、cosθ = 0 または 2sinθ + √3 = 0 となります。

cosθ = 0 の解はθ = ±π/2です。

2sinθ + √3 = 0 の解は、sinθ = −√3/2 であり、この解はθ = −π/3です。

θ = −π/3、θ = ±π/2 のそれぞれにおけるyの値を計算して、最大値と最小値を確認します。

計算の結果、yの最大値と最小値がそれぞれ求められ、最大値とその時のθ、最小値とその時のθの値がわかります。

y = −cos²θ − √3sinθ の問題では、微分を利用して最大値、最小値を求め、その時のθの値を算出しました。この問題の解法は、微分を使って関数の極値を求める基本的な手法を理解するのに役立ちます。