偶数の積に1を加えた数の性質と平方数について

数学の問題で、「２つの続いた偶数の積に1を加えるとどんな数になるのか？」という質問があります。この問題を文字式を使って解く方法を解説します。さらに、その答えが奇数の平方数になる理由についても説明します。

問題の理解

問題は「２つの続いた偶数の積に1を加えた数」を求めるものです。偶数は2で割り切れる数であり、続けて並ぶ偶数は、例えば2, 4, 6, 8のように、2の倍数が並んでいます。この問題を文字式で表現し、計算していきましょう。

まず、「２つの続いた偶数」のうち、最初の偶数を「2n」とおきます。続く偶数はその1つ後の偶数なので、「2n + 2」となります。この２つの偶数の積は、次のように表せます。

(2n) × (2n + 2) = 2n(2n + 2) = 2n × 2(n + 1) = 4n(n + 1)

次に、この積に1を加えると、式は次のようになります。

4n(n + 1) + 1

上記の式を展開すると、次のようになります。

4n(n + 1) + 1 = 4n² + 4n + 1

この式は、完全な平方の形になります。なぜなら、次のように書き換えられるからです。

(2n + 1)² = 4n² + 4n + 1

したがって、「２つの続いた偶数の積に1を加えると、(2n + 1)²、つまり奇数の平方数になります。」という答えが得られます。

偶数の積に1を加えると、結果として「(2n + 1)²」となりますが、この「(2n + 1)」は常に奇数です。従って、この式は奇数の平方数を表すことになります。

例えば、n = 1のとき、(2 × 1 + 1)² = 3² = 9、n = 2のとき、(2 × 2 + 1)² = 5² = 25、という具合に、結果として得られる数はすべて奇数の平方数です。

「２つの続いた偶数の積に1を加えるとどんな数になるか？」という問題の答えは、奇数の平方数であることが分かります。式にすると「(2n + 1)²」となり、これは常に奇数の平方を表します。このように、文字式を使って問題を解くことで、数学的な構造が明確に見えてきます。