この問題では、△ABCの辺BCの3等分点のうち、Bに近い方をDとしたときに、等式2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)が成り立つことをベクトルを用いて証明する方法を解説します。
問題の整理
まず、問題に与えられた情報を整理します。点A、B、Cの位置をベクトルで表し、ベクトルa、b、cでそれぞれA、B、Cの座標を表すことにします。
- A = a
- B = b
- C = c
- 点Dは辺BCの3等分点であり、BからDまでの距離がBからCまでの1/3の位置にある。
ベクトルによる解析
点Dは辺BCの3等分点であるため、Dの位置ベクトルは次のように表せます。
D = (2/3)B + (1/3)C
ここで、Bの位置ベクトルはb、Cの位置ベクトルはcなので、Dの位置ベクトルは次のようになります。
D = (2/3)b + (1/3)c
2AB^2 + AC^2の計算
次に、AB^2とAC^2を計算していきます。AB^2はAからBまでの距離の2乗であり、AC^2はAからCまでの距離の2乗です。これらをベクトルで表すと、次のように計算できます。
AB^2 = |a – b|^2
AC^2 = |a – c|^2
3(AD^2 + 2BD^2)の計算
次に、AD^2とBD^2を計算します。ADはAからDまでの距離、BDはBからDまでの距離です。これらをベクトルで表すと、次のように計算できます。
AD^2 = |a – D|^2
BD^2 = |b – D|^2
これを計算し、最終的に3(AD^2 + 2BD^2)を求めます。
証明の完成
最後に、計算したAB^2、AC^2、AD^2、BD^2の値を元に、2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)が成り立つことを確認します。これで問題の証明が完了します。
まとめ
この問題では、ベクトルを用いて△ABCの辺BCの3等分点Dに関する等式の証明を行いました。具体的には、点Dの位置をベクトルで表現し、与えられた等式の両辺を計算して証明を進めました。ベクトル解析を使うことで、問題の解法がより明確に理解できました。
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