高校数学の疑問：±がつく場合とつかない場合の区別について

高校数学における実数解の問題で、解に±がつく場合とつかない場合があります。具体的には、x³ = 4 の場合と x⁴ = 5 の場合に関する質問です。この違いについて、どのように区別すれば良いのかを解説します。

問題の整理

まず、x³ = 4 と x⁴ = 5 それぞれの方程式について、実数解を求めます。

x³ = 4 の場合、方程式を解くと、x = ∛4 という実数解が得られます。この場合、x の値は正の数であるため、解に±はつきません。

次に、x⁴ = 5 の場合を考えます。この方程式を解くと、x = ±√5 となります。ここで、x に±がつく理由は、x⁴ = 5 という方程式の解が、x の値として正の√5 と負の√5 の2つがあるからです。

x³ = 4 の場合には、立方根を取った結果、解は一意であるため±がつきません。一方、x⁴ = 5 の場合には、4乗根を取ると、正の解と負の解が存在するため、±がつきます。このように、±がつくかどうかは、元の方程式の次数によって異なります。

立方根の場合は解が一意であり、±はつきませんが、4乗根などの場合は正と負の解があるため、±がつくことになります。この違いを理解することで、今後の数学の問題でも適切に解を導くことができます。