連続する奇数の平方の差が8の倍数である理由と式の導出

整数の平方に関する問題は、数学の基礎を理解する上で重要なテーマの一つです。特に、連続する奇数の平方の差が8の倍数であることを示す問題は、式の導出過程を通じて数学的な思考力を養うのに適しています。この記事では、この問題を解くためのステップを詳しく解説します。

1. 問題の整理

問題は、「ふたつの続いた奇数の平方の差は8の倍数である」というものです。ここで、奇数とは2で割った余りが1の整数であり、連続する奇数は例えば1と3、5と7、9と11などのように、差が2の整数ペアです。

また、整数Nを使って、小さい方の奇数を2N＋1と表すとき、大きい方の奇数をNを使って表す式を求めるという問題も含まれています。

まず、小さい方の奇数を2N＋1とし、次に大きい方の奇数は2N＋3となります。これらの平方の差を計算してみましょう。

 (2N + 3)² - (2N + 1)²

展開すると。

 (2N + 3)² = 4N² + 12N + 9

 (2N + 1)² = 4N² + 4N + 1

差を取ると。

 (4N² + 12N + 9) - (4N² + 4N + 1) = 8N + 8

このように、平方の差は8N + 8となり、8の倍数であることが確認できます。

この結果から、連続する奇数の平方の差は常に8の倍数であることがわかります。具体的には、差は8(N + 1)となり、Nの値に関係なく8の倍数になります。

また、Nに3を代入すると、差は8(3 + 1) = 32となり、確かに32は8の倍数です。

連続する奇数の平方の差が8の倍数であることは、式の展開を通じて明らかになりました。このような問題を解くことで、数学的な思考力や計算力を養うことができます。