実数x, y, zの条件を満たすzの取り得る範囲を図形的に求める方法

実数x, y, zが以下の2つの方程式を満たすとき、zの取り得る範囲を求める問題です。

1. x + y – z = 0

2. x² + y² + z² = 1

この記事では、これらの方程式がどのような意味を持つのか、そしてzの取り得る範囲を図形的に求める方法を解説します。

方程式の理解

最初に、与えられた方程式を見ていきましょう。1つ目の方程式 x + y – z = 0 は、z = x + y という式に書き換えることができます。この式は、x と y の和が z に等しいことを示しています。

2つ目の方程式 x² + y² + z² = 1 は、3次元空間における球の方程式です。これは、半径1の球面上に点 (x, y, z) が位置することを意味します。

これらの方程式を図形的に解くために、まず x + y = z という関係式を理解する必要があります。この式は、z が x と y の和として表されることを示しています。これを3次元空間で表すと、x と y が与えられると、z の値が決まる直線を描くことができます。

次に、x² + y² + z² = 1 は、半径1の球を示します。この球面上における点 (x, y, z) が条件を満たすことになります。

球面と直線の交点を求めることによって、zの取り得る範囲を求めることができます。まず、z = x + y の式を2つ目の方程式に代入します。

x² + y² + (x + y)² = 1

展開すると。

x² + y² + (x² + 2xy + y²) = 1

2x² + 2y² + 2xy = 1

ここで、この式を解くことで、xとyの範囲が決まります。そして、この範囲に基づいてzの値を計算します。

このようにして、zの取り得る範囲は決まります。具体的には、z の値は -1 ≤ z ≤ 1 という範囲に収まります。この範囲内であれば、与えられた方程式を満たす解が存在することが確認できます。

実数 x, y, z が与えられた条件を満たす場合、z の取り得る範囲は -1 ≤ z ≤ 1 となります。これを図形的に解くことで、直線と球の交点を求め、z の範囲を明確に示すことができました。