行列式が正のn次正方行列Aに対して、積分式 ∫_R^n e^{-(Ax,x)}dx = √π^n / |A| が成り立つことの証明について解説します。Rは実数全体、(Ax,x)はドット積であるとき、この式の証明の理解が深まるように、必要な理論を詳しく説明します。
1. 行列と積分の関係
行列Aが正の定値行列である場合、積分式 ∫_R^n e^{-(Ax,x)}dx を理解するためには、行列Aによる変換がどのように積分に影響を与えるかを考える必要があります。まず、行列Aに対して、積分式がどのように定義されるか、また、ドット積の計算方法を明確にしていきます。
この積分式において、xはn次元の実数ベクトルです。行列Aの作用により、xがどのように変換され、積分範囲がどのように変更されるかを理解することが重要です。
2. 線形代数と行列の性質
行列Aが正の定値行列であるとき、Aの固有値はすべて正であることが知られています。これにより、行列Aによって定義される二次形式 (Ax,x) は常に正の値を取ります。このことは、積分が収束するための重要な条件を提供します。
次に、行列Aが持つ固有値とそれに関連する行列式が、積分結果にどのように影響を与えるかを詳しく見ていきます。
3. ガウス積分と行列変換
積分式の計算において、ガウス積分が重要な役割を果たします。n次元空間でのガウス積分は、次のように計算されることが知られています。
∫_R^n e^(-x^T A x) dx = √π^n / |A| ここで、Aは正の定値行列であり、|A|はAの行列式です。この式の証明では、行列Aによる変換を考慮する必要があります。
4. 証明の概要
積分式 ∫_R^n e^{-(Ax,x)}dx を評価するために、まずAによる線形変換を適用し、その後、変換後の積分範囲で積分を行います。行列Aの性質を利用し、行列式の計算を行うと、最終的に式が √π^n / |A| となることがわかります。
このプロセスでは、行列Aの固有値分解や、変数変換を駆使して積分を解いていきます。
5. まとめと結論
行列式が正のn次正方行列Aに対する積分式 ∫_R^n e^{-(Ax,x)}dx = √π^n / |A| の証明は、ガウス積分を利用した行列変換と固有値の性質を基にしています。これにより、行列Aの性質が積分結果に与える影響を理解することができます。
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