関数 y = x² – 4x の最小値と最大値を求める方法

数学の問題で、関数 y = x² – 4x の最小値と最大値を求める方法について学びます。この問題では、x の範囲が a ≤ x ≤ a+2 に設定されています。最小値と最大値を求めるためには、まず関数のグラフを理解し、その後、微分を使って最適な値を見つける方法を説明します。

関数 y = x² – 4x の特徴

まず、与えられた関数 y = x² – 4x は二次関数です。二次関数のグラフは、放物線の形をしており、頂点が最小または最大の値を持っています。この関数の場合、x²の項が正なので、放物線は上に開いています。つまり、最小値は存在しますが、最大値は範囲に依存します。

この関数の最小値と最大値を求めるために、x の範囲 a ≤ x ≤ a+2 を考慮し、y の変動を計算します。

微分を使って最小値と最大値を求める

まず、y = x² – 4x を微分して、関数の傾きを求めます。微分を行うことで、関数の増加や減少の方向を確認できます。

y’ = 2x – 4

次に、この微分がゼロになる点を探します。この点が最小値または最大値を示す可能性があります。

0 = 2x – 4

x = 2

x = 2 は、関数の頂点を示し、最小値を得るための重要な情報となります。

範囲 a ≤ x ≤ a+2 における最小値と最大値の計算

次に、x の範囲 a ≤ x ≤ a+2 の間で、最小値と最大値を計算します。

最小値は、x = 2 の点で発生します。このとき、y の値を求めると、

y = 2² – 4(2) = 4 – 8 = -4

よって、最小値は -4 です。

最大値を求めるためには、x の範囲の端点、すなわち x = a と x = a+2 の値を計算します。

まず、x = a の場合、y = a² – 4a です。

次に、x = a+2 の場合、y = (a+2)² – 4(a+2) = a² + 4a + 4 – 4a – 8 = a² – 4

これで、x = a と x = a+2 における y の値が求まりました。最も大きな y の値が最大値です。

まとめ

関数 y = x² – 4x の最小値と最大値を求めるためには、微分を使用して最小点を求め、x の範囲内で最小値と最大値を計算します。最小値は頂点の計算で得られ、最大値は範囲の端点を調べることで求めることができます。これらの方法を使うことで、与えられた範囲における最小値と最大値を確実に求めることができます。