正多角形の辺上に石を並べる問題の解法

この質問では、正多角形の各辺に石を等間隔に並べる問題について解説します。具体的には、正三角形やそれ以上の角形における石の並べ方とその個数について計算します。

1. (1) 正n角形の辺上に石を並べる時に必要な石の個数

まず、正n角形の辺上にn個の石を等間隔で並べる場合を考えます。正三角形（n=3）の場合、辺ごとに5個の石を並べると12個の石が必要でした。同様に、正n角形の各辺にn個の石を並べると、辺の数がn個あるため、必要な石の個数はn×nです。従って、この問題の答えはn²個の石が必要であると言えます。

次に、(1)で求めた石の個数が、正(n+2)角形の辺上に(n+1)個の石を並べた時に必要な石の数よりも24個少なかった場合について考えます。正(n+2)角形の各辺には(n+1)個の石が並べられるため、必要な石の個数は(n+2)×(n+1)です。したがって、以下の式を使ってnを求めます。

n² = (n+2)×(n+1) – 24

上記の式を展開し、n² = n² + 3n + 2 – 24となります。これを整理すると、3n – 22 = 0となり、n = 22 / 3 で、n ≈ 7.33となります。nは自然数なので、最も近い自然数は7であるため、n = 7が答えとなります。

この問題では、正多角形の辺上に石を並べるときに必要な石の個数の計算方法と、それに基づいた問題解決方法を学びました。nの値を求めることで、正(n+2)角形の石の数とその差を24個とする問題に対応することができました。