この問題では、直線と放物線が接しながら動くときに、直線と別の直線との交点の軌跡を求める問題です。質問者がどのように解いたのかを見ながら、解法の誤りについて分析し、正しいアプローチを解説します。
1. 問題の理解
問題の条件として、直線 ax – y = b と放物線 y = (ax^2)/2 が接しながら動く状況が示されています。そして、直線 ax – y = b と直線 x + 2by = a の交点の軌跡を求めることが求められています。問題の要点は、これらの直線と放物線がどのように交差するかを理解することです。
2. 判別式の条件から a = 2b が求まる理由
質問者は、直線と放物線が接する条件を判別式を用いて求めています。接するということは、放物線と直線が一度だけ交差することを意味します。判別式を求めると、a = 2b という関係が導かれます。これは、直線と放物線が接するための必要十分条件です。
3. 解法の誤りと原因
質問者は、a = 2b を2つの直線の式に代入し、2bx – y = b と x + 2by = 2b の式を得た後、誤ってx, y の関係式を導出しました。このアプローチの誤りは、直線と放物線が接する場合の条件を正しく適用できていない点にあります。実際には、判別式に基づく条件を満たす解を求める過程において、正しい代入や計算が行われていない可能性があります。
4. 正しい解法
正しい解法では、まず直線と放物線が接する条件を判別式から求め、次にその条件を満たすx, y の関係を導出します。交点の軌跡を求めるためには、2つの直線の交点の座標を正確に求め、その結果を利用して円の方程式を導出します。
5. まとめと注意点
この問題を解く際には、接する条件を適切に判別し、その後の計算で求めた解を正確に適用することが重要です。特に、判別式の利用とその後の代入に注意を払いながら、解法を進めることが求められます。正しい解法を踏まえれば、交点の軌跡は円であり、問題の意図通りの解答に辿り着くことができます。
コメント