ミクロ経済学における利潤最大化の計算方法

この問題では、財の価格が60、総費用曲線がC(x) = x³ – 18x² + 120x + 200という条件下で、利潤を最大化するための最適な生産量を求める問題です。質問者が微分してx = 2.10を求めましたが、最終的な答えがx = 10になる理由について解説します。

1. 利潤最大化の基本的なアプローチ

利潤最大化問題では、利潤(P)を総収入(R)から総費用(C)を引いたものとして求めます。すなわち、P(x) = R(x) – C(x) です。総収入R(x)は価格（60）と生産量xの積として表されます。したがって、R(x) = 60xとなります。

利潤関数P(x)は、P(x) = 60x – (x³ – 18x² + 120x + 200) です。これを整理すると、P(x) = -x³ + 18x² – 60x – 200 となります。この関数をxについて微分して、P'(x) = 0となる点を求めます。

利潤関数P(x)を微分すると、P'(x) = -3x² + 36x – 60 となります。この式を0に設定して解くと、x² – 12x + 20 = 0となります。この方程式を解くと、x = 10またはx = 2が得られます。

x = 10とx = 2の2つの解が得られますが、質問者がx = 2.10まで計算した結果がx = 10に合致しない理由は、解を正確に代入して判断することにあります。最終的には、x = 10が利潤を最大化する最適な生産量であり、x = 2は非現実的な解となります。

この問題を解くためには、まず利潤関数を正しく設定し、微分して得られる解の中から現実的な最適解を選ぶことが大切です。誤解を避けるためには、微分後の解の解釈と検証を正確に行う必要があります。