「sin(-x³)を微分したら-3x²cos(-x³)になるのは理解できたが、解答では-3x²cos(x³)と書いてあった。なぜこのような違いが生じるのか？」という疑問について解説します。この記事では、微分における三角関数の特性と符号について詳しく説明します。
微分の基本的なルール
まず、関数を微分する際の基本的なルールを確認しましょう。三角関数の微分は以下のように計算します。
- d/dx[sin(u)] = cos(u) * du/dx
ここで、uはxに関する関数です。このルールを使用することで、複雑な関数でも微分することができます。
sin(-x³)の微分を考える
問題にある「sin(-x³)」を微分するには、合成関数の微分を使います。まず、u = -x³ とおき、d/dx[sin(-x³)]を計算します。
d/dx[sin(-x³)] = cos(-x³) * d/dx(-x³)
ここで、d/dx(-x³) = -3x² となります。したがって、微分結果は。
-3x² * cos(-x³)
となります。
cos(-x³)とcos(x³)の違い
次に、なぜ解答では「-3x²cos(x³)」と書かれているのかについて考えます。実は、cos関数は偶関数であるため、cos(-θ) = cos(θ) が成り立ちます。したがって、cos(-x³) = cos(x³) となります。
このため、微分結果は同じく-3x²cos(x³)となるわけです。
まとめ
sin(-x³)を微分した結果、-3x²cos(-x³)が得られますが、cos関数の偶関数性により、最終的な微分結果は-3x²cos(x³)と同じ意味を持ちます。このように、符号の違いはcos関数の性質により消えるため、両者は同じ微分結果を示しています。
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