この問題は、連続した掛け算を行い、数式を簡単化することで解くことができます。具体的な解法のステップを順を追って説明しますので、問題に取り組む際に参考にしてください。
1. 問題の確認
与えられた問題は、次の式を解くものです。
(1 – 1/2^2) × (1 – 1/3^2) × (1 – 1/4^2) × (1 – 1/5^2) × … × (1 – 1/999^2)
この問題では、各項を順番に計算していくのではなく、式全体のパターンを理解し、それを活用することが重要です。
2. 各項の簡単化
まずは、各項「(1 – 1/n^2)」を簡単化します。これを計算すると。
1 – 1/n^2 = (n^2 – 1) / n^2
これにより、元の式は次のように表せます。
((2^2 – 1)/2^2) × ((3^2 – 1)/3^2) × ((4^2 – 1)/4^2) × … × ((999^2 – 1)/999^2)
さらに、n^2 – 1 は (n – 1)(n + 1) であるため、各項は次のように分解できます。
((n – 1)(n + 1)) / n^2
3. 連続項のキャンセル
次に、このように分解した式を連続して掛け算する際、計算を簡単にするために項同士のキャンセルを考えます。例えば。
((2 – 1)(2 + 1)) / 2^2 × ((3 – 1)(3 + 1)) / 3^2 × …
この式では、n の値が大きくなるにつれて、多くの項がキャンセルされ、最終的に残るのは最初と最後の部分だけになります。
実際に計算すると、最終的に残る式は次のようになります。
(1 × 1000) / (999 × 1000) = 1 / 999
4. 最終的な答え
したがって、この問題の答えは次のように求められます。
1 / 999
このように、連続した掛け算をする際には、キャンセルできる項を意識して計算を進めることで、計算が簡単になります。
5. まとめ
この問題は、まず各項を簡単化し、キャンセルできる項を見つけて計算する方法で解きました。問題を解く際には、まず式の構造をよく理解し、無駄な計算を避けることが重要です。今回の問題の答えは「1/999」となります。
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