∑ k=1~n (2k-1) の解法とその意味

数学における累積和の問題は、数式を簡単に計算するための重要な技術です。今回は、∑ k=1~n (2k-1) という数式の解法について解説します。この式は、数列の和を求める問題であり、特に奇数の和を計算する際に出てきます。

∑ k=1~n (2k-1) の意味とは？

まず、∑ k=1~n (2k-1) とは、kを1からnまで変化させたときに、各kに対して 2k-1 の値を足し合わせた合計を求める式です。この式は、1, 3, 5, 7, … と続く奇数の合計を求める問題です。

具体的には、kが1の場合は2×1-1 = 1、kが2の場合は2×2-1 = 3、kが3の場合は2×3-1 = 5となります。このようにして、n回繰り返すことで、n個の奇数の合計を計算します。

この式を解くために、まずはn項までの奇数の和がどのような数式になるかを考えます。1からnまでの奇数を足し合わせると、合計は次のような簡単な公式にまとめることができます。

∑ k=1~n (2k-1) = n²

つまり、kが1からnまで変化したとき、奇数の合計は n の二乗に等しいということです。この公式を使えば、任意のnに対する奇数の合計を簡単に求めることができます。

例えば、n=3の場合を考えます。k=1, 2, 3 それぞれに対して、2k-1を計算すると、1, 3, 5が得られます。この3つの奇数を足すと、1 + 3 + 5 = 9 となり、公式に従って n² = 3² = 9 であることが確認できます。

同様に、n=5の場合は、1, 3, 5, 7, 9を足し合わせた結果、1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25となり、公式に従って 5² = 25 ということが分かります。

∑ k=1~n (2k-1) の和を求める問題は、n個の奇数を足し合わせる問題です。この和は簡単な公式 n² によって求めることができます。特に、数学の基礎を学ぶ際に、このような公式を覚えておくことで、複雑な計算を効率的に行うことができます。