位相空間における連続写像の加算とスカラー倍について

位相空間において、距離空間XからR^nへの写像f, gが連続であるとき、それらの和f+gやスカラー倍cf (c∈R)も連続であることを示す問題です。ここでは、連続性の定義を基に、f+gとcfの連続性を証明していきます。

1. 連続性の定義

位相空間における写像が連続であるとは、任意の開集合に対して、その逆像が開集合であることを意味します。距離空間Xにおける連続性は、任意のε>0に対して、Xの任意の点xにおいてf(x)の近くに任意の点yが存在する場合にfが連続であると言えます。

2. f+gの連続性

fとgが連続であるならば、f(x)+g(x)も連続であることを示します。f, gが連続であるためには、任意の点xと任意のε>0に対して、|f(x) – f(y)|<ε/2および|g(x) - g(y)|<ε/2となる点yが存在します。したがって、|f(x) + g(x) - (f(y) + g(y))| ≤ |f(x) - f(y)| + |g(x) - g(y)| < εとなり、f+gも連続であることが確認できます。

3. cfの連続性

次に、スカラー倍cfが連続であることを証明します。fが連続であるならば、任意の点xに対してf(x)の近くにyが存在するため、cfも同様に連続であることを示します。具体的には、|cf(x) – cf(y)| = |c| |f(x) – f(y)|と考えた場合、|c| |f(x) – f(y)|<εが成り立ち、cfも連続であることが示されます。

4. 結論

以上の証明により、距離空間XからR^nへの連続写像fとgに対して、f+gおよびcfも連続であることが示されました。連続写像の加算とスカラー倍における連続性は、距離空間の基本的な性質を利用して簡単に証明することができます。

まとめ

距離空間XからR^nへの連続写像fとgに対して、その和f+gやスカラー倍cfも連続であることが証明されました。この性質は、位相空間や距離空間における連続性の基本的な性質を理解する上で重要なポイントです。