大学の微積分でよく登場するテイラー展開。ここでは、関数 1/(1-x)、xe^x、arctan(x) の x=0 におけるテイラー展開を求める方法について解説します。テイラー展開を使うことで、これらの関数の近似を行うことができます。
テイラー展開とは？
テイラー展開は、ある関数をその点での値と微分係数を使って多項式で近似する方法です。具体的には、関数f(x)のテイラー展開は次の式で表されます。
f(x) = f(0) + f'(0) x + f”(0) x^2 / 2! + f”'(0) x^3 / 3! + …
ここで、f(0) は関数の x=0 での値、f'(0) はその微分係数、f”(0) は2階の微分係数、というように、各項が積み重なっていきます。
1/(1-x) のテイラー展開
まず、1/(1-x) のテイラー展開を x=0 のまわりで求めます。関数 1/(1-x) は既に知られている展開式を使うことができます。この関数のテイラー展開は、次のようになります。
1/(1-x) = 1 + x + x² + x³ + …
これは、(1-x)^(-1) の一般的なテイラー展開です。x=0 まわりでは、この展開式が適用されます。
xe^x のテイラー展開
次に、xe^x のテイラー展開を求めます。まず、e^x のテイラー展開を考えます。e^x の展開は次のようになります。
e^x = 1 + x + x² / 2! + x³ / 3! + …
これに x を掛けると、xe^x の展開は次のように得られます。
xe^x = x + x² + x³ / 2! + x⁴ / 3! + …
arctan(x) のテイラー展開
最後に、arctan(x) のテイラー展開を求めます。arctan(x) のテイラー展開は、次のように表されます。
arctan(x) = x – x³ / 3 + x⁵ / 5 – x⁷ / 7 + …
これは、arctan(x) のテイラー展開式で、奇数項のみが現れることが特徴です。
まとめ
テイラー展開は、関数の近似を行う強力な方法です。今回は 1/(1-x)、xe^x、arctan(x) の x=0 でのテイラー展開を求めました。これらの展開式は、微積分の基本的なテクニックを使って簡単に導くことができます。テイラー展開を活用することで、関数の挙動をより深く理解することができるでしょう。
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