x^2 + y^2 = 1のとき、2x + yの最大値を求める方法

「x^2 + y^2 = 1」のような円の方程式と「2x + y」のような直線の方程式が関係する問題では、最大値や最小値を求めるために、いくつかのアプローチがあります。この記事では、この問題の解法をステップバイステップで解説し、2x + yの最大値を求める方法を紹介します。

問題の設定

与えられた方程式「x^2 + y^2 = 1」は、原点を中心とする半径1の円の方程式です。この問題では、xとyを実数として、式「2x + y」の最大値を求めることが求められています。

まず、このような問題では、幾何学的なアプローチが有効です。具体的には、直線と円が接する点を求め、その接点における値を求める方法です。

まず、「2x + y = k」という直線の方程式を考えます。この直線が円と接する場合、接点での距離が円の半径に等しくなるという性質を利用します。

直線と円が接する条件は、点と直線の距離が円の半径1になることです。この条件を満たすkの値を求めることで、最大値と最小値が得られます。

直線と円が接するための条件は、直線と円の距離が1であることです。この条件を使って、直線の傾きや位置を調整していきます。

直線と円が接するためには、2x + y = kのkの値を適切に選ぶことが重要です。最大値は、kの値が円の接点に達したときに得られます。

具体的な計算においては、まず直線の傾きと円の交点を求め、その交点における「2x + y」の値を計算します。この計算によって、最大値と最小値が求められることになります。

最終的に、最大値を得るためには、このアプローチを適切に実行し、接点でのyの値を代入して最大値を求めます。

「x^2 + y^2 = 1」の場合、2x + yの最大値を求めるためには、直線と円の接点を計算し、その接点における値を求める必要があります。点と直線の距離が円の半径1に等しくなる条件を満たすkの値を求め、最終的にその値を使って最大値を得ます。

この方法は幾何学的な視点から問題を解決する強力なアプローチです。最大値を求めるために、直線と円の接点に着目して計算を進めましょう。