関数の極限を求める際に、置き換え法（代入法）と、はさみうちの原理（挟み込み定理）をどちらを使用するべきか、即座に判断するためのポイントについて解説します。どちらを使うかを適切に選ぶことで、計算がスムーズに進みます。
置き換え法（代入法）の基本的な考え方
置き換え法（代入法）は、極限の計算において関数の定義域が連続であり、極限を求める関数が簡単に代入できる場合に使います。例えば、関数の式がxにおける特定の値に収束する場合、代入を直接行うことができるので、最もシンプルな方法です。
具体例として、関数f(x) = x^2がx=3においての極限を求める場合、直接x=3を代入してf(3) = 9という結果を得ることができます。ここでは、xに直に代入するだけで極限を求められます。
はさみうちの原理の基本的な考え方
はさみうちの原理（挟み込み定理）は、関数の極限値を求めるための補助的な手段です。関数f(x)の極限が直接求められない場合でも、f(x)が他の2つの関数g(x)とh(x)の間に挟まれていて、g(x)とh(x)の極限が一致するならば、f(x)の極限もその値になるというものです。
例えば、関数f(x) = sin(x)/xをx=0で評価する場合、直接の代入では0/0の不定形が生じるため、はさみうちの原理を使います。具体的には、g(x) = -1/x^2、h(x) = 1/x^2などの間に挟んで極限を求めます。
どちらを使うかの判断基準
置き換え法を使うべき場合は、関数が連続であることが前提となります。連続関数であれば、極限値はそのまま代入できるので、シンプルで便利です。これに対し、はさみうちの原理は、直接代入が難しい場合や不定形が出る場合に使用します。
また、はさみうちの原理は、特に関数が連続でない場合や、複雑な分数式の極限を求める際に有効です。つまり、代入法で計算できない場合にこそ、はさみうちの原理を使う場面が多くなります。
実際の判断方法
実際には、まず関数の形を見て、極限を直接代入しても問題がないかを確認します。もし代入して不定形（例えば0/0など）が現れた場合、次に関数が他の関数で挟めるかどうかを考え、挟み込み定理を使うことを検討します。
もしx=0における極限を求める場合、よくあるのは三角関数や指数関数で、このような場合にはまず代入法を試し、それがうまくいかなければはさみうちの原理を使うという流れです。
まとめ
関数の極限を求める際、置き換え法（代入法）と、はさみうちの原理（挟み込み定理）は状況に応じて使い分けるべきです。代入法は関数が連続である場合に適用しやすく、簡単に極限を求めることができますが、不定形や不連続な場合ははさみうちの原理を使って解決します。どちらを使うかは、関数の形状や計算の進行具合に応じて判断しましょう。
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