ラプラス変換は、線形微分方程式の解法に非常に有用な手法です。ここでは、(s² – s + 3) / (s – 3)³ のラプラス変換を求める手順を解説します。ラプラス変換を理解することで、複雑な関数を簡単な関数に変換し、解析を容易にすることができます。
ラプラス変換とは？
ラプラス変換は、時間領域の関数を複素数平面上のs領域に変換する手法です。この変換を使うことで、微分方程式の解法が単純化され、解析が容易になります。ラプラス変換は、特にシステムの挙動や制御理論、信号処理などの分野で広く使用されます。
ラプラス変換の定義は次のようになります。
F(s) = L{f(t)} = ∫₀∞ e^(-st) f(t) dt
(s² – s + 3) / (s – 3)³ のラプラス変換を求める方法
(s² – s + 3) / (s – 3)³ のラプラス変換を求めるためには、まず式を適切に分解し、部分分数分解を使用するのが一般的です。この方法を使うことで、各項のラプラス変換を個別に求めることができます。
まず、分数式を次のように部分分数に分解します。
(s² – s + 3) / (s – 3)³ = A / (s – 3) + B / (s – 3)² + C / (s – 3)³
この分解により、各項に対応するラプラス変換を求めることが可能となります。
部分分数分解の計算
部分分数分解を行うためには、まず式を分母の次数に従って分解します。ここでは、s – 3 の累乗に基づく分解を行います。具体的には、次のように計算します。
(s² – s + 3) = A(s – 3)² + B(s – 3) + C
この式を展開し、係数を比較することで、定数A、B、Cを求めます。
ラプラス変換を求める
部分分数分解後の各項に対して、ラプラス変換を行います。基本的なラプラス変換の公式を利用すると、次のような結果が得られます。
L{1 / (s – a)} = e^(at)
これにより、(s – 3) の累乗を含む項のラプラス変換を求めることができます。
結果のまとめ
最終的に、(s² – s + 3) / (s – 3)³ のラプラス変換は、部分分数分解を通じて求めた各項のラプラス変換を合計したものとなります。具体的な解答は次のようになります。
L{(s² – s + 3) / (s – 3)³} = A / (s – 3) + B / (s – 3)² + C / (s – 3)³
この方法により、複雑な関数のラプラス変換を簡単に求めることができます。
まとめ
(s² – s + 3) / (s – 3)³ のラプラス変換を求めるためには、まず部分分数分解を行い、各項のラプラス変換を求める手順を踏むことが重要です。これにより、複雑な式を簡単に解析できるようになります。ラプラス変換の技法は、制御理論や信号処理など多くの分野で非常に有用です。
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