数学IAの確率・場合の数：1〜9の番号のついたボールを区別のない3つのグループに分ける方法

数学IAでよく出題される問題の一つが、「番号のついたボールを区別のないグループに分ける問題」です。この問題では、1〜9の番号のついたボールを、区別のない3つのグループに分ける方法を求められます。今回は、ボールのないグループがあってもよい場合の解き方を詳しく説明します。

問題の理解とアプローチ

問題では、1〜9の番号のついたボールを、区別のない3つのグループに分ける方法を求めています。このとき、ボールをグループに分ける際に、グループの順序は関係なく、ボールの数が異なるグループができることもあります。また、ボールのないグループができることも許されています。

まず、この問題は「重複組み合わせ」の問題であり、区別のないグループにボールを分ける方法を求めるものです。次に、ボールを分ける方法について、数学的なアプローチで解いていきます。

「重複組み合わせ」とは、同じ種類のアイテムをいくつかのグループに分けるときに、順番を考慮せず、同じアイテムが異なるグループに含まれる場合の数を求める方法です。

この問題の場合、ボールが1〜9番の番号がついているため、これら9個のボールを3つのグループに分けることになりますが、ボールを分ける際に順番は関係なく、同じグループに何個でもボールを入れることができます。

重複組み合わせの公式を使うと、次のように計算できます。n個のアイテムをk個のグループに分ける方法の数は、次の公式で求められます。

この公式は次のように表されます。

C(n+k-1, k-1)

ここで、nは分けるアイテムの数（この場合は9個のボール）、kはグループの数（この場合は3つのグループ）です。

したがって、ボール9個を3つのグループに分ける方法は次のように計算できます。

C(9+3-1, 3-1) = C(11, 2)

C(11, 2)は、11個のアイテムから2個を選ぶ組み合わせの数なので、計算すると

C(11, 2) = 55

となり、ボール9個を区別のない3つのグループに分ける方法は、全部で55通りとなります。

この問題は、「1〜9の番号のついたボールを、区別のない3つのグループに分ける方法」を求める問題でした。数学的には、重複組み合わせを使って解く問題です。公式を使うことで、計算することができ、最終的な答えは55通りであることがわかりました。

問題を解く際には、まず問題の理解とアプローチをしっかり行い、その後適切な公式を使って計算することが大切です。