赤球と白球の組み合わせに関する期待値の求め方

この問題では、赤球3個と白球2個が入った袋から2個の球を取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球と白球の個数の期待値を求めます。期待値の計算方法を理解することで、確率問題を効率よく解くことができます。ここでは、赤球と白球の個数の期待値を求める方法を解説します。

問題の理解

袋の中には、赤球3個と白球2個の合計5個の球があります。ここから一度に2個の球を取り出し、その中に含まれる赤球の個数と白球の個数の期待値を求める問題です。

まず、期待値とは、ある事象が発生する「平均的な」結果を示す値で、確率論の基本的な概念です。この問題では、赤球と白球がそれぞれ取り出される確率を使って期待値を計算します。

まずは赤球の個数の期待値を求めます。2個の球を取り出すとき、赤球が0個、1個、2個である確率をそれぞれ計算し、その確率に対応する個数を掛け合わせて期待値を求めます。

・赤球0個の確率：白球2個を選ぶ場合、組み合わせはC(2,2) = 1通り、全組み合わせはC(5,2) = 10通り。したがって、確率は1/10です。

・赤球1個の確率：赤球1個、白球1個を選ぶ場合、組み合わせはC(3,1) × C(2,1) = 3 × 2 = 6通り。確率は6/10です。

・赤球2個の確率：赤球2個を選ぶ場合、組み合わせはC(3,2) = 3通り。確率は3/10です。

赤球の期待値は、次のように計算されます。

期待値 = 0×(1/10) + 1×(6/10) + 2×(3/10) = 0 + 6/10 + 6/10 = 1.2

したがって、赤球の期待値は1.2個です。

白球の期待値も同様に計算します。白球が0個、1個、2個である確率を計算します。

・白球0個の確率：赤球2個を選ぶ場合、組み合わせはC(3,2) = 3通り。確率は3/10です。

・白球1個の確率：赤球1個、白球1個を選ぶ場合、組み合わせはC(3,1) × C(2,1) = 3 × 2 = 6通り。確率は6/10です。

・白球2個の確率：白球2個を選ぶ場合、組み合わせはC(2,2) = 1通り。確率は1/10です。

白球の期待値は、次のように計算されます。

期待値 = 0×(3/10) + 1×(6/10) + 2×(1/10) = 0 + 6/10 + 2/10 = 0.8

したがって、白球の期待値は0.8個です。

この問題では、赤球と白球を取り出すときのそれぞれの個数の期待値を求めました。赤球の期待値は1.2個、白球の期待値は0.8個となりました。確率を利用して期待値を求める方法を理解することで、より複雑な確率問題にも対応できるようになります。