因数分解の公式「(a-b)^3」の展開とその応用

高校の数IIの因数分解の問題でよく出てくる公式「a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 = (a-b)^3」の使い方と、bを-bに置き換えることで式がどう変わるのかについて解説します。このような問題でよく混乱する「式の展開」と「公式の理解」をわかりやすく説明します。

「(a-b)^3」の展開式

まずは、「(a-b)^3」を展開してみましょう。この式を展開するには、3つの項に分けて計算します。展開の基本公式は次の通りです。

(a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3

この式は、aとbのそれぞれの項を掛け合わせて、3乗の展開を行った結果です。したがって、左辺はこのように展開されることがわかります。

bを-bに置き換えるとどうなるか

次に、質問の中にあった「bを-bに置き換える」という操作について説明します。具体的には、bを-bにすると、式はどのように変化するのでしょうか。

まず、bを-bに置き換えると、式は以下のように変化します。

a^3 – 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3

これをそれぞれ計算していきます。

a^3 – 3a^2(-b) = a^3 + 3a^2b

3a(-b)^2 = 3ab^2

(-b)^3 = -b^3

これで、式は次のようになります。

a^3 + 3a^2b + 3ab^2 – b^3

公式「[a + (-b)]^3」の確認

次に、「[a + (-b)]^3」について考えてみましょう。ここで、a + (-b)は実質的に「a – b」と同じです。したがって、この式は次のように表すことができます。

[a + (-b)]^3 = (a – b)^3

これにより、最終的に式は次のように一致します。

a^3 + 3a^2b + 3ab^2 – b^3 = (a – b)^3

このように、bを-bに置き換えた場合、最終的には元の公式と一致することがわかります。

まとめ

「a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 = (a – b)^3」という公式は、bを-bに置き換えることで、式がどのように変化するかを確認する良い例です。bを-bに置き換えると、式の各項が符号が反転して変化し、最終的には「[a + (-b)]^3」として、元の公式「(a – b)^3」に帰着することがわかります。