この問題では、一次関数 y = ax + b (1≦x≦2) の値域が 3≦y≦5 であるとき、定数 a と b を求めるという課題です。一次関数の値域を求めるためには、関数の最大値と最小値を求め、それを元に a と b の値を決定する必要があります。ここではその解き方をステップバイステップで解説します。
1. 一次関数の基本的な理解
まず、一次関数 y = ax + b のグラフは直線であり、傾き a と切片 b によって形が決まります。この問題では、与えられた区間 [1, 2] の範囲で、y の最小値が 3、最大値が 5 となるように a と b を決める必要があります。
2. 与えられた値域と x の範囲
与えられた条件は 1≦x≦2 です。つまり、x は 1 から 2 の間の値を取ります。ここで、y = ax + b の値域が 3≦y≦5 であるため、x = 1 と x = 2 の時に y の値がそれぞれ 3 と 5 になることを考えます。
3. x = 1 と x = 2 の時の式を立てる
まず x = 1 の時の式を立てます。y = a(1) + b = 3 となります。これを式 (1) とします。
次に x = 2 の時の式を立てます。y = a(2) + b = 5 となります。これを式 (2) とします。
4. 方程式を解く
式 (1) と式 (2) は次のような形になります。
- 式 (1) : a + b = 3
- 式 (2) : 2a + b = 5
この2つの式を連立方程式として解きます。式 (2) から式 (1) を引くことで、a の値を求めることができます。
式 (2) – 式 (1) = (2a + b) – (a + b) = 5 – 3 となり、a = 2 です。
a = 2 を式 (1) に代入すると、2 + b = 3 となり、b = 1 が得られます。
5. 結論：a と b の値
したがって、定数 a と b の値はそれぞれ a = 2, b = 1 です。このため、y = 2x + 1 の関数が与えられた条件に一致することが確認できました。
6. まとめ
今回は、一次関数の値域を利用して定数 a と b を求める方法を解説しました。与えられた範囲 [1, 2] での最大値と最小値から連立方程式を解くことで、a = 2, b = 1 という解を得ました。この方法を理解することで、同様の問題に対応できるようになります。
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