与えられた式「2(x+1)^4 + 2(x-1)^4 + 5(x^2-1)^2」の因数分解方法を解説します。この問題では、与えられた式を展開して因数分解するための手順を順を追って説明します。最終的には、答えが「(3x^2 + 2x + 3)(3x^2 – 2x + 3)」になることがわかります。
式の展開
まず、与えられた式を展開してみましょう。式は以下のようになっています。
2(x + 1)^4 + 2(x – 1)^4 + 5(x^2 – 1)^2
まずは、(x + 1)^4 と (x – 1)^4 の展開を行い、その後にそれぞれの項を合わせます。その後、x^2 – 1 の2乗を展開して、最終的に各項を加算します。
具体的な展開手順
1. (x + 1)^4 の展開。
(x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
2. (x – 1)^4 の展開。
(x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1
3. 5(x^2 – 1)^2 の展開。
5(x^2 – 1)^2 = 5(x^4 – 2x^2 + 1) = 5x^4 – 10x^2 + 5
すべての項をまとめる
次に、上記の展開をすべて加えます。
2(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) + 2(x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1) + 5(x^4 – 2x^2 + 1)
これを計算すると。
2x^4 + 8x^3 + 12x^2 + 8x + 2 + 2x^4 – 8x^3 + 12x^2 – 8x + 2 + 5x^4 – 10x^2 + 5
すべての項を加えると。
9x^4 + 14x^2 + 9
因数分解の手順
次に、9x^4 + 14x^2 + 9 を因数分解します。この式は次のように因数分解できます。
(3x^2 + 2x + 3)(3x^2 – 2x + 3)
まとめ
与えられた式「2(x+1)^4 + 2(x-1)^4 + 5(x^2-1)^2」の因数分解を行うと、最終的に「(3x^2 + 2x + 3)(3x^2 – 2x + 3)」となります。このように、式を展開してから因数分解を行うことで、答えを導くことができます。
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