関数f(x)=|x-1|の微分不可能性の証明と絶対値の扱い方

関数f(x)=|x-1|はx=1で微分可能でないことを証明する問題について、特に絶対値関数の微分に関する疑問を解消します。この問題を解くための手順をわかりやすく説明します。

絶対値関数の微分と基本的な概念

絶対値関数f(x)=|x-1|は、xが1を中心に異なる挙動を示します。xが1より大きい場合と小さい場合では、関数の形が異なるため、その微分を求める際には注意が必要です。

まず、f(x)=|x-1|の定義を理解することが大切です。絶対値は、数値の大きさを示し、xが1より大きいときはf(x)=x-1、xが1より小さいときはf(x)=-(x-1)になります。

微分可能性の確認方法

微分可能であるためには、関数の左微分と右微分が一致しなければなりません。x=1での微分可能性を調べるために、右端と左端での微分をそれぞれ計算します。

右端では、xが1より大きいため、関数はf(x)=x-1となります。したがって、x=1の右側での微分は1です。

左端では、xが1より小さいため、関数はf(x)=-(x-1)となります。したがって、x=1の左側での微分も-1です。

x=1で微分が一致しない理由

微分の定義において、x=1における左右の微分が一致しないため、この関数はx=1で微分可能ではありません。具体的には、右側からの微分が1、左側からの微分が-1であるため、微分可能性が失われます。

このように、絶対値関数はその特性上、x=1の点で微分可能でないことがわかります。

lim[h→-0] {f(1+x)-f(1)}/hの計算と絶対値の扱い

質問者が指摘したように、lim[h→-0] {f(1+x)-f(1)}/h = lim[h→-0] |h|/hという式が現れます。この式で絶対値がついているにもかかわらず、-hという値が現れる理由について解説します。

絶対値関数では、hが負の場合、|h|は-hと同じ意味になります。これにより、計算式lim[h→-0] |h|/hがlim[h→-0] -h/hに変形され、最終的に微分の値が計算できることになります。

まとめ

関数f(x)=|x-1|はx=1で微分可能でないことが示されました。この結果は、x=1での左右の微分が一致しないためです。また、絶対値関数の微分計算において、絶対値の取り扱いに注意が必要であることも理解できました。微分の定義や絶対値関数の特性をしっかりと把握することで、こうした問題を正しく解くことができます。