証明：a!b! + a ≠ c!d! + c の関係について

この問題では、与えられた式が成り立つことを証明する方法を解説します。式は次のように与えられています。

a, b, c, d ∈ ℕ かつ (a, b) ≠ (c, d) ならば、a!b! + a ≠ c!d! + c

1. 問題の整理
2. 階乗の性質を理解する
3. 証明のアプローチ
4. 一般的な証明の流れ
5. まとめ

1. 問題の整理

まず、この式の意味を整理します。a, b, c, d はすべて自然数であり、(a, b) と (c, d) は異なるペアであることが前提です。この式の左辺と右辺の関係について詳しく見ていきます。

左辺は a!b! + a であり、右辺は c!d! + c です。ここで、!（感嘆符）は階乗を意味します。

2. 階乗の性質を理解する

階乗は自然数の積であり、特に大きな値に急速に増加します。例えば、5! = 120, 6! = 720 といった具合に、a や b の値が大きくなると、a!b! も急激に大きくなります。これに対して、加算された項である a や c は相対的に小さいため、式全体の大小関係に大きな影響を与えます。

3. 証明のアプローチ

この証明では、(a, b) ≠ (c, d) の条件に着目します。a と b、c と d が異なる場合、a!b! と c!d! の値は同じではないため、a!b! + a と c!d! + c は異なる結果になります。

例えば、a = 3, b = 2, c = 2, d = 3 の場合を考えます。左辺は 3!2! + 3 = 6 × 2 + 3 = 15 となり、右辺は 2!3! + 2 = 2 × 6 + 2 = 14 となり、明らかに異なります。このように、a と b、c と d が異なれば、式の結果は必ず異なる値になります。