単位円を使って理解する cos(θ – π/2) = sin(θ) の証明

高校数学

三角関数の公式、特に cos(θ – π/2) = sin(θ) は、計算上は加法定理を使って理解できますが、単位円を使って図形的に説明するのは少し難しく感じることもあります。この記事では、単位円を使ってこの式がどのように成り立つのかを分かりやすく解説します。

1. 単位円とは何か

単位円は半径が1の円で、直交座標平面上において原点を中心に描かれます。単位円上の任意の点は、その点を表す角度θに対応する座標(cos(θ), sin(θ))を持っています。これが三角関数の基本的な意味となります。

2. cos(θ – π/2) の図形的な理解

まず、θ – π/2という角度を考えます。θ – π/2は、θから90度(π/2ラジアン)引いた角度を意味します。単位円上で角度θに対応する点をAとすると、角度θ – π/2に対応する点Bは、点Aを単位円上で90度回転させた位置にあります。回転によって、Bの座標はAの座標のx成分とy成分が入れ替わります。

3. 点Aの座標と点Bの座標

点Aの座標は (cos(θ), sin(θ)) です。点Aを90度回転させた点Bの座標は (sin(θ), -cos(θ)) になります。このとき、点Bのy座標が -cos(θ) となるので、x座標は sin(θ) に一致します。これにより、cos(θ – π/2) = sin(θ) という関係が成立するのです。

4. 結論とまとめ

単位円を使うと、cos(θ – π/2) = sin(θ) の関係が直感的に理解できます。θ – π/2の回転は、元の座標のx成分とy成分を入れ替えることにより、cos(θ – π/2)がsin(θ)に等しくなることが分かります。三角関数のこの性質は、加法定理を使った計算とも一致します。

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