「1 = 0.9999…」という等式を目にしたことがあるでしょうか？この等式は一見して直感に反するように思えますが、実際には数学的に正しいものです。本記事では、この驚くべき等式がなぜ成り立つのかを、具体例とともにわかりやすく解説します。
0.9999… とは何か？
まず、0.9999…という数について説明します。これは、0.9が無限に続く数であり、通常「0.999…」と書かれます。この数は、実は「0.9, 0.99, 0.999, 0.9999…」と、少しずつ1に近づいていく数の列を表しています。このような無限に続く小数が実際にどんな意味を持つのかを考えることが重要です。
1 = 0.9999… の数学的証明
では、なぜ1と0.9999…が等しいのかを見ていきましょう。まず、x = 0.9999… と仮定します。次に、この式に10を掛けてみます。
10x = 9.9999… とすることができます。この時点で、x = 0.9999… の式と10x = 9.9999…の式を比較すると、簡単にxの値を求めることができます。
xを使って式を操作する
次に、10x – xを計算します。
10x – x = 9.9999… – 0.9999…
これにより、9x = 9 という式が得られます。両辺を9で割ると、x = 1 となり、最初の仮定通りx = 0.9999… なので、最終的に0.9999… = 1 であることが確認できます。
直感的な理解のための例
もしまだ納得できない場合、別の視点から考えてみましょう。0.9999…は、1に限りなく近い数ですが、実際には1そのものと同じです。無限に続く小数は、「収束」という概念に基づいて、最終的に確定した値（ここでは1）に達します。
このことを理解するために、無限級数の考え方を利用するとわかりやすいです。0.9999… は、1 – 1/10 + 1/100 – 1/1000… という形の数列であり、この数列の和は1に収束します。
結論：数学的な視点での理解
「1 = 0.9999…」という等式は、無限に続く小数が収束するという数学的な性質によって成立しています。数式を操作することでその証明を示すことができ、直感的に理解するためには無限級数の概念を知ることが重要です。
まとめ
0.9999… が1に等しいという事実は、最初は不思議に思えるかもしれませんが、数学的な論理と無限級数の概念を使えば納得できます。数学における無限や収束といった概念を学ぶことで、このような不思議な等式も理解できるようになります。
コメント