R^nの直交補空間に関する問題は、線形代数の中でもよく扱われるテーマです。この問題では、単集合{x1}⊂R^nが与えられ、その直交補空間を求めることが求められています。具体的には、R^nの基底となる線型独立なベクトルx1, x2, …, xnに対して、{x1}^⊥ = span{(x2, …, xn)}という関係が成り立つかどうかを考えます。
直交補空間とは？
直交補空間とは、あるベクトル空間における特定の部分空間に対して、その空間内のすべてのベクトルとの内積がゼロになるベクトルから構成される空間のことを指します。直交補空間を求めることは、線形代数において基本的な操作の一つです。
具体的に言うと、任意のベクトルが直交するということは、内積がゼロであることを意味します。これにより、ある空間に属するすべてのベクトルが直交する空間を構築できます。
問題の理解
質問では、{x1}という単集合が与えられ、その直交補空間が{ x1 }^⊥と表されています。ここで、{ x1 }^⊥はx1ベクトルに直交するベクトル全てからなる空間を示しています。
さらに、基底を構成するベクトルx1, x2, …, xnに対して、{x1}^⊥がspan{(x2, …, xn)}となるのかを考えます。この問いでは、x1の直交補空間が残りのベクトルx2からxnで構成される線形空間であることを示す必要があります。
直交補空間と線形独立性
線形独立性に関しては、ベクトルx1からxnがR^nの基底をなしていることを理解することが重要です。これらのベクトルは線型独立であり、x1の直交補空間にはx2, x3, …, xnが含まれます。なぜなら、x1の直交補空間はx1に直交するベクトルの集合であり、x2からxnのベクトルがこの集合に完全に含まれているからです。
したがって、{x1}^⊥はspan{(x2, …, xn)}と一致します。これは、x1の直交補空間がR^n内でx2からxnに対応する部分空間と同じであることを意味します。
まとめ
R^n上の直交補空間に関する問題では、直交性と線形独立性が重要な役割を果たします。質問で問われたように、基底を構成するベクトルが線形独立であれば、その直交補空間は残りのベクトルたちの線形包として表すことができるという事実を理解することが鍵です。この概念を使って、直交補空間の理解を深めることができます。
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