数Ⅲの極値問題を解く方法: f(x) = sin(x) + tan(x) - ax のaの範囲を求める

今回は、関数f(x) = sin(x) + tan(x) – axが極値を持つためのaの範囲を求める問題を解いていきます。この問題は微分を使って極値を求める基本的な手法を学ぶのに役立ちます。

1. 極値の条件と微分の基本

関数の極値を求めるためには、まずその関数を微分して、微分係数がゼロになる点を探します。極値を持つためには、まずf'(x) = 0となるxの値を求め、それが極大値または極小値であるかを確認します。

与えられた関数f(x) = sin(x) + tan(x) – axの微分を計算します。ここでは、微分の基本公式を使用します。

f'(x) = cos(x) + sec²(x) – a

これがf(x)の微分です。極値を求めるためには、f'(x) = 0となるxの値を求めます。

f'(x) = 0を解くと、次の式が得られます。

cos(x) + sec²(x) – a = 0

これを整理すると、a = cos(x) + sec²(x)となります。ここで、sec(x)は1/cos(x)ですので、sec²(x) = 1/cos²(x)となり、最終的に次のように表せます。

a = cos(x) + 1/cos²(x)

aの値が極値を持つためには、xの範囲でf'(x) = 0を満たす値がある必要があります。ここで重要なのは、xが0からπ/2の範囲内であることです。

cos(x) + 1/cos²(x)の最小値と最大値を求めることで、aの範囲が決まります。計算により、aの範囲を求めることができます。

この問題を解くためには、関数の微分とその極値を求める方法を理解することが重要です。f'(x) = 0を解くことで、aの範囲を求めることができ、最終的に答えが得られます。このように、微分を用いて関数の性質を探ることができることを学びました。