ベクトルの絶対値とユークリッドノルム（2ノルム）の使い分けについて解説

大学数学

2025.05.18

ベクトルの絶対値とユークリッドノルム（2ノルム）という概念について、混同しやすい部分がありますが、それぞれがどのように使われるべきかを理解することが大切です。この記事では、これらの概念が何であり、どのように使い分けるべきかを解説します。

1. ベクトルの絶対値とは？

ベクトルの絶対値は、通常、ベクトルの「長さ」や「大きさ」を示すために使われます。この絶対値は、1次元のベクトルにおいては、数直線上の点と原点との距離に相当します。多くの文脈で、ベクトルの絶対値は、単にベクトルの長さを意味する場合に用いられます。

一方で、ユークリッドノルム（または2ノルム）は、ベクトルの「長さ」を測る標準的な方法であり、ベクトルが持つ各成分の2乗和の平方根として定義されます。n次元空間でのベクトルのユークリッドノルムは、次のように表されます。

‖v‖₂ = √(v₁² + v₂² + … + vₙ²)

基本的に、1次元ベクトルの場合、絶対値とユークリッドノルムは同じ意味になりますが、多次元空間でのベクトルでは異なる概念です。ユークリッドノルムは、各成分の2乗和を基に計算されるため、複数次元における「距離」を正確に表現します。

ベクトルの絶対値は、1次元のケースで使われることが多いですが、ユークリッドノルムは、通常、n次元空間におけるベクトルの長さを計算するために使われます。

ユークリッドノルムとベクトルの絶対値の使い分けは、問題の次元や文脈に依存します。もし問題が1次元であれば、絶対値を使用しても問題ありません。しかし、2次元以上のベクトルに関しては、ユークリッドノルムを使う方が適切です。

ベクトルの絶対値とユークリッドノルムは、どちらも「ベクトルの大きさ」を示すものですが、次元によって使い分ける必要があります。1次元の場合は絶対値を使い、2次元以上ではユークリッドノルムを使用するのが一般的です。