数学的帰納法は、自然数に関する命題を証明するための非常に重要な手法です。しかし、質問のように「n = kが成り立つと仮定したとき、n = k + 1が成り立つと証明しているが、n = kの時点で成り立つか分からないのではないか？」という疑問が生じることがあります。この記事では、数学的帰納法の誤解を解き、その実際の証明方法について説明します。
数学的帰納法とは？
数学的帰納法は、ある命題がすべての自然数に対して成り立つことを示す方法です。基本的に次の2つのステップで構成されています。
- **基底部**：最小の自然数（通常はn = 1）について命題が成り立つことを示す。
- **帰納法の仮定**：n = kの時点で命題が成り立つと仮定し、それをもとにn = k + 1が成り立つことを証明する。
この2つのステップを経ることで、すべての自然数に対して命題が成り立つことが確認できます。
数学的帰納法の進め方
質問者の指摘のように、「n = kが成り立つと仮定したとき、n = k + 1が成り立つことを証明している」と感じることがありますが、これは誤解です。実際、数学的帰納法では、n = kの時点では証明しません。
帰納法の仮定は、あくまでもn = kのとき命題が成り立つと仮定し、それを基にn = k + 1の証明を行うことがポイントです。この方法によって、自然数全体に対して命題が成り立つことを示すことができます。
帰納法の仮定と証明の流れ
例えば、命題P(n)がn = 1から始まり、すべての自然数nに対して成り立つことを証明したい場合、次のように進めます。
- **基底部**：n = 1のとき、命題P(1)が成り立つことを確認します。
- **帰納法の仮定**：n = kのとき、命題P(k)が成り立つと仮定します。
- **帰納法のステップ**：仮定のもと、n = k + 1のときに命題P(k+1)が成り立つことを証明します。
この流れが正しい理由は、n = kのときに成り立つと仮定しているので、その後の証明が論理的に必要なステップとなり、最終的にすべての自然数に対して命題が成り立つことが確定するからです。
仮定と証明の関係を理解する
質問者が感じた疑問は、帰納法の仮定に関する誤解から生じることが多いです。「n = 3と仮定してn + 1 = 4になる」という考え方は、帰納法とは異なります。帰納法では、仮定を立ててその上で論理的に次のステップを証明していくため、このような単純な例とは異なります。
重要なのは、「n = kのときに成り立つ」という仮定を使って、「n = k + 1のときにも成り立つ」と証明する点です。仮定が正しければ、次のステップも正しいと確定できるため、全体として命題が成り立つことがわかります。
まとめ
数学的帰納法では、帰納法の仮定を使用してn = k + 1の証明を行いますが、n = kの時点ではすでに仮定を用いています。この仮定を基に論理的に次のステップを進めることで、自然数全体に対して命題が成り立つことを証明します。帰納法の理解を深めることで、自然数に関する命題を証明する際の方法が明確になり、誤解を避けることができます。
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