数Ⅲの問題解説: y = |x - 1|e^x の極値の求め方

数Ⅲの問題で「y = |x – 1|e^x の極値を求めよ」との問いに困っている方も多いかもしれません。この問題は、絶対値関数と指数関数を組み合わせた関数の極値を求める問題です。解法を順を追って解説しますので、ぜひ確認してみてください。

1. 絶対値関数の取り扱い方

まず、y = |x – 1|e^x のような絶対値関数を含む場合、絶対値を外すために、関数が変化する場所を確認する必要があります。絶対値の中身である (x – 1) が0になるとき、つまりx = 1で絶対値の中身の符号が変わります。このため、x = 1で場合分けをします。

したがって、関数を次のように分けて考えます。

次に、各場合について微分を行い、極値を求めます。微分後の結果が0になる点が極値となります。

まず、x ≥ 1 の場合、関数は y = (x – 1)e^x ですので、これを微分します。

y’ = d/dx[(x – 1)e^x] = (x – 1)e^x + e^x = e^x(x)

この微分を0に設定して解くと、x = 0 となりますが、x = 0 は x ≥ 1 の範囲には含まれないため、この範囲には極値はありません。

次に、x = 1 の境界で関数の挙動を確認します。x = 1 の近くで関数がどう変化するかを調べることで、極値を求めることができます。x = 1 の前後で微分の符号を確認することで、増加または減少の傾向がわかり、極大か極小かがわかります。

この問題では、絶対値関数の取り扱いと微分の使い方が重要です。x = 1 で境界を考え、その前後で微分を確認することで極値を求めることができました。普段から微分の定義や絶対値関数の扱いをしっかり理解しておくと、似たような問題も解けるようになります。