今回は、関数f(x) = x² + x + a/x – 1がx = 3で極値を持つための定数aの値を求め、そのときの極値を計算する問題を解いていきます。この問題では、微分を使って極値を求める方法を学びます。
1. 極値を求めるための基本的なアプローチ
関数が極値を持つためには、その微分が0になる必要があります。まずは、関数f(x)の微分を求め、x = 3でf'(x) = 0となるようなaの値を求めます。
2. f(x)の微分を求める
与えられた関数f(x) = x² + x + a/x – 1の微分を計算します。微分を行う際には、各項に対して微分公式を使います。
f'(x) = 2x + 1 – a/x²
3. 極値の条件を設定する
x = 3で極値が生じるためには、f'(x) = 0となる必要があります。これをx = 3に代入して、aの値を求めます。
f'(3) = 2(3) + 1 – a/(3²) = 0
これを解くと、次のようになります。
6 + 1 – a/9 = 0
a/9 = 7
a = 63
4. 極値を求める
a = 63が分かったので、次にx = 3でのf(x)の値を求めます。
f(3) = 3² + 3 + 63/3 – 1
f(3) = 9 + 3 + 21 – 1 = 32
まとめ
この問題では、まずf(x)の微分を求め、その微分が0になるxの値を使ってaの値を決定しました。さらに、a = 63のときのf(3)を求めることで、極値の値を32と求めました。このように、微分を利用して関数の極値を求める手法を学ぶことができました。
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