群論における自己同型群は、群の構造を理解する上で非常に重要な役割を果たします。この記事では、位数nの巡回群Gと、位数n²の巡回群Hが与えられたとき、G×Hの自己同型群Aut(G×H)の位数を求める方法について解説します。群の直積と自己同型群の関係を理解するためのステップを紹介します。
群の直積とその構造
まず、GとHの直積G×Hを考えます。Gは位数nの巡回群、Hは位数n²の巡回群です。GとHはそれぞれ素順な群で、G×Hの元は、Gの元とHの元の組み合わせからなります。
直積群の自己同型群Aut(G×H)は、G×HからG×Hへの同型写像の集合であり、その位数を求めるためには、GとHそれぞれの自己同型群を利用する必要があります。
自己同型群Aut(G×H)の計算
自己同型群Aut(G×H)の位数を求めるためには、GとHの自己同型群の構造を理解することが大切です。Gのような巡回群は、自己同型群が非常に簡単であるため、まずGとHの自己同型群の位数を別々に計算し、その後直積群に適用します。
Gのような位数nの巡回群の自己同型群Aut(G)は、n-1個の元を持つことが知られています。これは、Gがアーベル群であり、すべての元が互いに可換であるためです。同様に、Hのような位数n²の巡回群の自己同型群Aut(H)は、n²-1個の元を持ちます。
Aut(G×H)の位数の求め方
Aut(G×H)の位数は、Aut(G)とAut(H)の積として求めることができます。この場合、Aut(G)の位数はn-1、Aut(H)の位数はn²-1となります。
したがって、Aut(G×H)の位数は、Aut(G)とAut(H)の位数の積であり、次のように求めることができます。
- Aut(G×H) = (n-1)(n²-1)
まとめ
この問題では、Gが位数nの巡回群、Hが位数n²の巡回群であるとき、G×Hの自己同型群Aut(G×H)の位数を求める方法を解説しました。Aut(G×H)の位数は、Aut(G)とAut(H)の位数の積として計算でき、最終的にAut(G×H) = (n-1)(n²-1)となります。この考え方を基に、他の群についても同様の計算ができることがわかります。
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