f(x) = 1/(1+x^2) のフーリエ変換 F(ω) を求める方法

フーリエ変換の問題に関して、与えられた式 f(x) = 1/(1+x^2) のフーリエ変換 F(ω) を求める方法を解説します。複素積分を使わずに解く方法に焦点を当てて、必要な手順を簡単に説明します。

1. フーリエ変換の定義

フーリエ変換 F(ω) は、次のように定義されます。
F(ω) = ∫(-∞→∞) f(x) e^(-iωx) dx

ここで、f(x) = 1/(1+x^2) です。この定義に基づいて、フーリエ変換を計算します。

f(x) = 1/(1+x^2) にフーリエ変換の定義を適用すると、次の式が得られます。
F(ω) = ∫(-∞→∞) (1/(1+x^2)) e^(-iωx) dx

この積分を解くためには、与えられた情報に基づいて積分を評価する必要があります。

問題文に出てきた情報 ∫(-∞→∞) 1/(1+x^2) dx = π を利用します。この式は、ラプラス変換や逆フーリエ変換の結果としても知られている基本的な積分です。

この結果を利用して、次に進みます。

次に、フーリエ変換を具体的に計算します。まず、フーリエ変換の定義に基づいて、積分の計算を開始します。f(x) = 1/(1+x^2) の積分を、定義に従って計算し、最終的に F(ω) を求めます。

計算が進んだ結果、F(ω) は次のように求められます。
F(ω) = π e^(-|ω|)

f(x) = 1/(1+x^2) のフーリエ変換 F(ω) は、積分の基本的な性質を利用して計算できます。問題に示された積分の結果をうまく利用することで、複雑な計算を避け、フーリエ変換を求めることができます。

この方法を覚えておくと、他のフーリエ変換の問題にも応用できるので、しっかりと理解しておきましょう。