因数分解の問題を解く方法：a(b-c)² + (c-a)² + c(a-b)² + 8abcの解法

因数分解の問題で、式a(b-c)² + (c-a)² + c(a-b)² + 8abcを解く方法について解説します。この問題では、式の各項を丁寧に展開し、因数分解を行っていく必要があります。この記事では、ステップごとにどのように進めるかを分かりやすく説明します。

式の整理と展開

まず、与えられた式を展開していきます。式a(b-c)² + (c-a)² + c(a-b)² + 8abcは、まず各二乗項を展開します。展開すると次のようになります。

a(b-c)² = a(b² – 2bc + c²)

(c-a)² = c² – 2ac + a²

c(a-b)² = c(a² – 2ab + b²)

これらを全て展開すると、次の式になります。

ab² – 2abc + ac² + c² – 2ac + a² + ca² – 2abc + cb² + 8abc

展開した式を整理します。まず、同じ項をまとめていきます。例えば、-2abcが2回出ているので、それをまとめます。

ab² + ac² + c² + a² + ca² + cb² – 4abc

ここで、a²やb²、c²といった項はそのまま残りますが、-4abcは一つの項としてまとめられました。

次に、式を因数分解するための手順に入ります。まずは、各項をなるべく共通の因子を持つ形にグループ化していきます。この場合、abcの項が共通しているため、それを利用して因数分解の形に持ち込むことができます。

具体的な因数分解は、式の各部分をグループ化し、適切な因数を見つけて整理します。最終的に式は以下の形になります。

(a+b+c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc)

最終的に、式a(b-c)² + (c-a)² + c(a-b)² + 8abcを因数分解すると、(a+b+c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc)という形にまとめられます。この方法で因数分解を行うことで、問題がスムーズに解けることがわかります。

因数分解は、式の各部分を適切に展開して整理し、共通項を見つけることが重要です。これにより、より複雑な問題でも解法が明確になります。