複素数に関する方程式を解く問題では、実数部分と虚数部分を分けて考えることが大切です。この問題では「xの2乗＝3-4i」という方程式を満たす複素数xを求める方法を解説します。
問題の整理
与えられた方程式は、x² = 3 – 4i です。ここで、x は複素数であり、複素数 x を a + bi と表すことができます。a は実数部分、b は虚数部分です。したがって、x² = (a + bi)² と考えることができます。
方程式の展開
まず、(a + bi)² を展開しましょう。
(a + bi)² = a² + 2abi + (bi)² = a² + 2abi – b² です。ここで、i² = -1 なので、-b² という項が出てきます。よって、x² = a² – b² + 2abi となります。
実数部と虚数部の比較
方程式 x² = 3 – 4i を実数部分と虚数部分に分けて比較します。左辺の実数部分は a² – b²、虚数部分は 2ab です。右辺の実数部分は 3、虚数部分は -4 です。したがって、次の2つの式が得られます。
- a² – b² = 3
- 2ab = -4
連立方程式の解法
これで2つの連立方程式が得られました。a² – b² = 3 と 2ab = -4 を解くことで、a と b の値を求めます。
まず、2ab = -4 より、a と b の関係を求めることができます。b = -2/a という形に式を変形し、これを a² – b² = 3 に代入して a の値を求めます。計算を進めることで、a = 2 または a = -2 が得られます。これらを代入して b の値を求めると、b = -1 または b = 1 になります。
解の確認
a = 2, b = -1 または a = -2, b = 1 のいずれも解として成り立ちます。したがって、x は 2 – i または -2 + i という複素数であることがわかります。
まとめ
複素数の方程式を解くためには、実数部分と虚数部分を別々に扱い、連立方程式を解く方法が有効です。この問題では、x² = 3 – 4i を満たす複素数 x を求めるために、実数部と虚数部を比較して解を導きました。
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