ランダムに取り出したボールの積の平均を求める方法

1からmまでの自然数が書かれたm個のボールからランダムに2個のボールを取り出し、その積の総和の平均を求める問題です。この問題では、ペアの組み合わせの数やその積の総和をうまく計算する必要があります。この記事では、問題の解法を順を追って解説します。

問題の整理

問題では、1からmまでの数字が書かれたm個のボールがあり、この中からランダムに2個のボールを取り出すと、ペアの組み合わせの数は「m C 2」であると述べられています。まず、m C 2の値を求め、その後にペアの積の総和を計算します。

ここで、「m C 2」はコンビネーション（組み合わせ）の式で、m個の中から2個を選ぶ場合の通り数を示します。計算式は次の通りです。

m C 2 = m(m-1)/2

次に、取り出した2個のボールの積の総和を求める方法を考えます。ペアを選ぶたびに、それらの数字の積を計算し、その結果をすべて足し合わせることが求められています。

1からmまでの数字を「x」と「y」とすると、その積の総和は次のように表されます。

積の総和 = Σ (x * y) （x ≠ y）

この計算を進めるためには、すべてのペアの積を足し合わせる必要がありますが、実際には数学的な工夫を使って簡単に計算する方法があります。

次に、この積の総和をペアの組み合わせ数で割ることで、積の平均を求めます。ペアの組み合わせ数は「m C 2」であり、積の総和をその値で割ると、以下のように計算できます。

平均 = (積の総和) / (m C 2)

これにより、すべてのペアにおける数字の積の平均値を求めることができます。具体的な数式を使った計算では、積の総和を公式に当てはめて計算することになります。

例えば、m=5の場合を考えてみましょう。この場合、1から5までのボールがあり、ペアの組み合わせは5 C 2 = 10通りです。

次に、ペアの積の総和を計算します。1,2,3,4,5のそれぞれの数字を使ってペアを選び、その積を足し合わせます。

(1*2) + (1*3) + (1*4) + (1*5) + (2*3) + (2*4) + (2*5) + (3*4) + (3*5) + (4*5)

これを計算すると、積の総和は35になります。

この総和をペアの組み合わせ数で割ると、平均は35 / 10 = 3.5となります。

1からmまでの自然数が書かれたボールの中からランダムに2個を取り出し、その積の平均を求める問題では、まずペアの組み合わせ数を求め、次に積の総和を計算し、最後にその平均を求めます。数学的な工夫を使うことで、効率よく計算ができます。