大学数学の問題で、関数のマクローリン展開を求めることがあります。ここでは、具体的な関数のマクローリン展開を行い、a0からa4までの値を求める方法を説明します。質問に対する答えを得るためのステップをわかりやすく解説します。
マクローリン展開とは
マクローリン展開とは、ある関数f(x)をx=0の周りで展開する方法で、テイラー展開の特別な場合です。マクローリン展開は、f(x)を無限級数で表す方法であり、一般的には次のように表されます。
f(x) = Σ (n=0 to ∞) a_n * x^n
問題1: f(x) = (1 + x) / (1 – 2x)
この関数のマクローリン展開を求めるためには、まず関数を展開可能な形に変形します。この関数を次のように分解します。
f(x) = (1 + x) * (1 – 2x)^(-1)
次に、(1 – 2x)^(-1)のマクローリン展開を求めます。これは、幾何級数を使って展開できます。
(1 – 2x)^(-1) = Σ (n=0 to ∞) (2x)^n = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + …
これを(1 + x)に掛けると、最終的に次のマクローリン展開が得られます。
f(x) = 1 + 3x + 8x^2 + 15x^3 + …
したがって、a0 = 1, a1 = 3, a2 = 8, a3 = 15 となります。
問題2: f(x) = e^(2x) * cos(x)
次に、f(x) = e^(2x) * cos(x) のマクローリン展開を求めます。まず、e^(2x) と cos(x) の各々のマクローリン展開を求めます。
e^(2x) = 1 + 2x + 2x^2 + 4x^3 + …
cos(x) = 1 – x^2/2 + x^4/24 – …
これらを掛け合わせると、次のようになります。
f(x) = (1 + 2x + 2x^2 + 4x^3 + …) * (1 – x^2/2 + x^4/24 – …)
展開して、最初の数項を取り出すと。
f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + …
したがって、a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4 となります。
まとめ
マクローリン展開は、関数を無限級数で表現する強力な方法です。問題1の関数 f(x) = (1 + x) / (1 – 2x) と問題2の関数 f(x) = e^(2x) * cos(x) のマクローリン展開を求め、a0からa4までの値を確認しました。これにより、関数の展開の仕組みを理解し、実際の計算を通じてその使い方を学ぶことができます。
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