掃き出し法による行列の行標準形への変換方法

線形代数の問題でよく使用される「掃き出し法」を用いて、与えられた行列を行標準形に変換する方法を解説します。この問題では、次の行列が与えられています。

行列A:
0 2 4 2
3 7 2 5
2 4 0 2

掃き出し法の基本的なステップ

掃き出し法は、行列を簡単にするために行う操作で、主に行の交換、スカラー倍、行の加減算を使用します。行標準形に変換するには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

最初に行列Aの最初の列を見て、最初の要素（0行1列）を基準にして、最初の非ゼロの数を作ります。最初の行に操作を施して、最初の非ゼロの数字を1にします。次に、他の行を調整して、最初の列をゼロにします。

最初の行を基準にして、2行目と3行目の先頭の数字をゼロにするように調整します。この段階で、行列Aは次のようになります。

行列Aの操作後:
1 2 4 2
0 1 -2 -1
0 2 -4 -2

最終的に、行列の最後の行（行3）をさらに調整して、1の下にゼロが並ぶようにします。行列は次のように最終的に整形されます。

最終的な行列:
1 2 4 2
0 1 -2 -1
0 0 0 0

掃き出し法を使用して、行列を行標準形に変換することができました。操作の手順は繰り返しの作業になりますが、行列を簡単にするためには非常に有効な方法です。最初は少し複雑に感じるかもしれませんが、慣れることで、より速く効率的に解けるようになります。繰り返し練習することが重要です。