等差数列の和 Sn の求め方と式の違いについて解説

等差数列の和の求め方について、特に初項が9、公比が-2の数列に関する質問があります。具体的には、初項から第n項までの和を求める式として「3{1 – (-2)^n}」と「3(2^n + 1)」が異なる表現として挙げられています。この2つの式がなぜ異なるのか、どちらが正しいのかを解説します。

等差数列の和の基本的な式

まず、等差数列の和の求め方について基本的な式をおさらいしましょう。等差数列の和 Sn は、次の式で求めることができます。

S_n = (n/2) × (2a + (n – 1) × d)

ここで、aは初項、dは公差、nは項数です。この式を使って問題を解いていきます。

初項9、公比-2の数列での和 Sn

質問では、初項が9、公比が-2の等差数列の和を求める問題です。したがって、この数列の初項 a = 9、公比 d = -2 になります。

等差数列の和の式に代入すると、Sn は次のように表されます。

S_n = (n/2) × (2×9 + (n – 1) × (-2))

S_n = (n/2) × (18 – 2n + 2)

S_n = (n/2) × (20 – 2n)

S_n = n × (10 – n)

この式が、問題で出された和の式に該当します。

式「3{1 – (-2)^n}」と「3(2^n + 1)」の違い

次に、式「3{1 – (-2)^n}」と「3(2^n + 1)」について見ていきます。まず「3{1 – (-2)^n}」は、n項目の和が「(-2)^n」部分を含む形です。

一方、「3(2^n + 1)」は、n項目の和を別の形で表現していますが、この式が適用されるのは別の状況で、場合によっては混同を招きやすいです。実際には、1項目目の和と最後の項が異なるため、式としては「3{1 – (-2)^n}」が正しい表現です。

まとめ

結論として、等差数列の和 Sn を求める際、初項9、公比-2の数列では「3{1 – (-2)^n}」という式が正しい表現となります。「3(2^n + 1)」という式は誤りであり、このような数列の和の求め方では注意が必要です。問題で求められる式の形をよく確認し、必要な項を適切に代入することが大切です。