4桁の数の和が3の倍数ならば元の数も3の倍数である理由の解説

この問題では、4桁の数の各位の和が3の倍数であれば、元の数も3の倍数であるという性質について説明する必要があります。まず、3の倍数について簡単に復習しましょう。

3の倍数の特徴

数学で「3の倍数」とは、数字の和が3で割り切れる数を指します。例えば、数字の和が3, 6, 9などの数です。したがって、ある数が3の倍数であるための条件は、その数を構成する各位の和が3の倍数であることです。

4桁の数は、例えば abcd のように、各位の数字を a, b, c, d としたとき、次のように表されます。

a × 1000 + b × 100 + c × 10 + d

ここで、数字の各位の和は a + b + c + d になります。この和が3の倍数であれば、元の数も3の倍数であることを示したいのです。

まず、上記の4桁の数の式を考えたとき、重要なのは1000, 100, 10, 1の位の数字の係数です。これらの数は、すべて3で割り切れる数であることに注目しましょう。

1000 ≡ 1 (mod 3), 100 ≡ 1 (mod 3), 10 ≡ 1 (mod 3), 1 ≡ 1 (mod 3)

これを利用すると、元の4桁の数は次のように書き換えることができます。

(a × 1000) + (b × 100) + (c × 10) + (d × 1) ≡ a + b + c + d (mod 3)

ここで、各位の和 a + b + c + d が3の倍数であるならば、元の数も3の倍数であることが分かります。つまり、元の数が3の倍数であるためには、各位の和が3の倍数であればよいのです。

この問題では、4桁の数の各位の和が3の倍数であれば、その数も3の倍数である理由を、数式を用いて証明しました。重要なポイントは、数の各位を構成する数字の係数が3で割り切れることを利用することです。