極限計算の解法：lim[x→0] (sinx – arctanx)/(x^3) の解き方

数学における極限計算は、関数が特定の点に近づくときの挙動を理解するための重要なツールです。ここでは、極限 lim[x→0] (sinx - arctanx)/(x^3) を求める方法について詳しく解説します。

問題の設定とアプローチ

問題は、lim[x→0] (sinx - arctanx)/(x^3) を解くことです。まず、xが0に近づくとき、分子の sin(x) と arctan(x) は共に0に近づきます。しかし、x^3は0に近づく際に非常に小さくなります。このため、極限を求めるにはこれらの項を適切に扱う必要があります。

テイラー展開を用いる

まず、sin(x) と arctan(x) のテイラー展開を使用して、xが0に近づく挙動をより詳しく解析します。

sin(x) のテイラー展開は次のようになります。

sin(x) = x - x^3/6 + O(x^5)

同様に、arctan(x) のテイラー展開は。

arctan(x) = x - x^3/3 + O(x^5)

これらの展開を用いて、分子を次のように近似します。

sin(x) - arctan(x) = (x - x^3/6) - (x - x^3/3) = x^3/6 + O(x^5)

極限の計算

次に、この近似結果を元に極限を計算します。

分子が x^3/6 に近似できるので、式は次のようになります。

(x^3/6)/(x^3) = 1/6

したがって、極限は次のように求まります。

lim[x→0] (sinx - arctanx)/(x^3) = 1/6

まとめ

この問題は、sin(x) と arctan(x) のテイラー展開を使用して解決しました。これにより、xが0に近づくときの挙動を近似し、最終的に極限を求めることができました。答えは 1/6 です。