微分方程式 y' = 1 / (t - y) の解法について

微分方程式「y’ = 1 / (t – y)」は、一見すると難しそうに見えますが、適切な手順で解くことができます。この記事では、この微分方程式を解くための方法とそのステップをわかりやすく解説します。

微分方程式の基本的な理解

微分方程式とは、関数とその導関数の関係を表す式です。この問題では、y’（yの導関数）が1 / (t – y)という形で与えられています。これは、tとyの関数の関係を示している微分方程式です。

y’ = 1 / (t – y) の形を見たとき、まずyとtがどのように関係しているのかを理解することが重要です。

この微分方程式を解くためには、「変数分離法」を使うのが一般的です。変数分離法とは、式の両辺をyに関する項とtに関する項に分け、積分する方法です。

まず、yとtを分離するために、両辺を (t – y) とyで整理します。具体的には、次のように式を変形します。

y’ = 1 / (t – y) → (t – y) dy = dt

変数を分けた状態になったので、両辺を積分します。左辺はyに関する項、右辺はtに関する項になります。

積分の結果、次のような式が得られます。

∫(t – y) dy = ∫dt

この積分を解くと、tとyの関係がわかります。

微分方程式の解を完全に求めるためには、初期条件が必要です。問題で与えられている初期条件を使って、積分定数を求めることができます。

例えば、y(t)が特定の値で始まる場合、初期条件を代入して解を確定します。これにより、tとyの具体的な関数が得られます。

微分方程式y’ = 1 / (t – y)は、変数分離法を使って解くことができます。最初にyとtを分離し、その後積分を行い、初期条件を使って解を求めることができます。この方法を使うことで、さまざまな微分方程式を解くことができるようになります。