行列の掃き出し法による行標準形への変換方法

線形代数の問題でよく出てくる「掃き出し法」を用いた行列の行標準形への変換について解説します。今回の問題では、次の行列を掃き出し法を使って行標準形に変換します。

問題の行列

以下の行列が与えられています。

行列A:
0 2 4 2
3 7 2 5
2 4 0 2

掃き出し法は、行列を簡単にするために行を操作する方法です。主に行の交換、スカラー倍、行の加減算を行っていきます。行列の目的は、行標準形にすることで、以下の3つの条件を満たすように変換します。

まず、行列Aの最初の列を見て、先頭の数字を1にするために行操作を行います。最初の行をスカラー倍して先頭の値を1にします。

行列の状態は以下の通りです。

行列Aの操作後:
1 2 4 2
3 7 2 5
2 4 0 2

次に、1がある位置（行1, 列1）を基準にして、その下の行を操作してゼロにします。具体的には、行2から3の1列目をゼロにするように行を調整します。

その結果、行列Aは次のようになります。

行列Aの操作後:
1 2 4 2
0 1 -2 -1
0 2 -4 -2

残った行（行3）の1列目がゼロであり、2列目に注目して、行を調整します。

最終的に、行列Aは行標準形になります。

掃き出し法によって行列を行標準形に変換することができました。掃き出し法は少し手間がかかりますが、ステップごとに分けて行うことで、確実に行列を簡単にすることができます。この方法をしっかりと理解し、繰り返し練習していくことが重要です。