有理数と無理数の証明: a + b√3 = 0 の証明

この問題では、a、bを有理数とし、√3が無理数であることを用いて、命題「a + b√3 = 0 → a = b = 0」を証明する方法について解説します。具体的な証明のステップを詳しく見ていきましょう。

1. 問題の理解と基本的な概念

まず、与えられた命題「a + b√3 = 0 → a = b = 0」について考えます。この命題は、aとbが有理数であり、√3が無理数であることを利用して、aとbが両方とも0であることを示す必要があります。

有理数とは、整数の比として表せる数（例: 1/2, 3, -5など）であり、無理数とは、有理数では表せない数（例: √2, π, √3など）です。

命題「a + b√3 = 0」において、aとbは有理数、√3は無理数です。この式が成立するためには、aとbがどのような値でなければならないのかを考えます。

まず、a + b√3 = 0という式を再構成すると、a = -b√3となります。ここで重要なのは、右辺が有理数でないことです。なぜなら、bと√3は有理数と無理数の積であり、この積は無理数であるため、右辺の-b√3も無理数となります。しかし、aは有理数であるため、この両辺が等しくなることは矛盾です。

したがって、a = -b√3という関係が成り立つためには、aとbがともに0である必要があります。もしaやbが0でなければ、無理数と有理数が等しくなることはないため、この命題は成立しません。

このことから、「a + b√3 = 0 → a = b = 0」という命題は正しいと結論できます。

今回の証明では、有理数と無理数の性質を利用して、a + b√3 = 0が成り立つためにはaとbが0である必要があることを示しました。無理数と有理数の積が有理数であることはないため、この命題が成り立つのはaとbが0のときのみです。